Harmonia Matemática

1. Introdução:

A harmonia é um conceito normalmente ligado à idéia de beleza, de proporção ou mesmo de ordem. Harmonia também está ligada à música. No entanto, do ponto de vista Matemático, a Harmonia é estudada do ponto de vista das séries numéricas e da estatística em conceitos como o de Média Harmônica e Harmônico Global. A seguir definiremos cada um dos conceitos acima apresentados e os aplicaremos em diversas situações práticas.

2. Série:

É a série formada pela soma dos inversos dos números naturais não nulos:

Tal série é denominada harmônica devido à sua semelhança com a proporcionalidade dos comprimentos de onda de uma corda vibrando.

3. Média Harmônica:

O inverso da média harmônica dos elementos do conjunto

é definido como a média aritmética dos inversos dos elementos desse conjunto, ou seja,

Observação:

Pode-se considerar a Média Harmônica como o número que corresponde a capacidade média individual da ação de n elementos estão agindo harmonicamente, ou seja, a capacidade de um agente que é capaz de substituir cada um dos n agentes quando atuando em conjunto.

4. Harmônico Global:

O inverso do harmônico global dos elementos de um conjunto é definido como a soma dos inversos dos elementos desse conjunto, ou seja,

Observação:

Pode-se considerar o harmônico global h como a capacidade média global da ação dos n elementos de um conjunto agindo em conjunto de uma forma harmônica, isto é, h representa a capacidade de um único agente substituir todos os agentes ao mesmo tempo.

5. Situações-Problema:

5.1. Capacidade Individual:

O seguinte problema foi proposto pelo vestibular da UFMG:

Um pedreiro faz um muro em 6 horas. Outro pedreiro, nas mesmas condições que o primeiro, faz o mesmo muro em 9 horas. O tempo que os dois gastarão trabalhando juntos, para fazer o mesmo muro, nas mesmas condições anteriores é:

A) 3 horas e 36 minutos
B) 7 horas
C) 4 horas
D) 7 horas e 36 minutos
E) 4 horas e 36 minutos

Solução: Deve-se calcular a capacidade de um único pedreiro de substituir os dois pedreiros ao mesmo tempo. Dessa forma, temos que

onde t1 e t2 são, respectivamente, iguais a 6 horas e 9 horas. Logo

A alternativa correta é a letra A.

5.2. Torneiras e Tanque:

De maneira análoga à situação apresentada no item (5.1), podemos aplicar a idéia de harmônico global para resolver problemas onde duas (ou mais) torneiras serão abertas para encher um tanque, como apresentamos no seguinte problema: Uma torneira enche um tanque em 4 horas, outra enche o mesmo tanque em 6 horas e uma terceira torneira enche o mesmo tanque em 9 horas. Abrindo-se as três torneiras ao mesmo tempo, qual será o tempo necessário para encher totalmente o tanque?

Solução:

Deve-se calcular a capacidade de uma única torneira de substituir a vazão das três torneiras. Dessa forma, temos que

onde t1, t2 e t3 são, respectivamente, iguais a 4, 6 e 12 horas. Logo

5.3. Velocidade Média:

A idéia da média harmônica pode ser aplicada para determinar a velocidade média de um automóvel em um percurso duplo (por exemplo, ida e volta de uma viagem). Observe o exemplo abaixo. Um carro se desloca de Belo Horizonte a Brasília mantendo uma velocidade média de 90km/h. No percurso de volta, o mesmo automóvel percorre a distância a 120 km/h. Qual é a velocidade média durante todo o trajeto? Solução: A solução desse problema é uma aplicação imediata da aplicação de média harmônica dos valores 90 km/h e 120 km/h:

6. Conclusões:

Todos os problemas acima mencionados, embora de situações independentes, nos mostram que o modelo matemático do Harmônico Global é útil na resolução de muitos problemas significativos. Em todas as situações apresentadas, o que se observa é a harmonia da ação de todos os agentes envolvidos na composição de uma ação conjunta e colaboradora com o objetivo de produzir um resultado. Existem muitas outras questões de caráter matemático que podem ser estudadas através do uso da Média Harmônica e do Harmônico Global.

7. Questões Propostas:

01) A torneira B consegue encher um tanque sozinha em 2 horas enquanto a torneira C demora 3 horas. Em quanto tempo as torneiras B e C conseguem encher juntas esse mesmo tanque?

02) Três torneiras enchem um tanque: a primeira em 15 horas; a segunda em 20 horas e a terceira em 30 horas. Há um escoadouro que pode esvaziar o tanque em 40 horas. Estando as três torneiras e o escoadouro abertas, calcule quanto tempo será necessário para que o tanque fique cheio. (8 horas)

03) Paulo vai e volta de carro de Santa Tereza à Santa Inês. Seu carro faz 16 quilômetros por litro de gasolina na viagem de ida, e 12 quilômetros por litro na viagem de volta. Calcule a média harmônica do consumo de gasolina em quilômetros por litro. Se a distância de Santa Tereza à Santa Inês é de 6 km, verifique que a média harmônica é a média correta a ser calculada. Encontre a média aritmética para comparar.