tag:blogger.com,1999:blog-3904353364501610082024-03-12T18:05:17.493-07:00Companhia dos NúmerosMarcelo Eustáquiohttp://www.blogger.com/profile/05680900931787446473noreply@blogger.comBlogger1125tag:blogger.com,1999:blog-390435336450161008.post-8516133614801255402010-05-24T16:32:00.000-07:002010-05-24T17:20:46.422-07:00Harmonia Matemática<strong>1. Introdução:<br /></strong><br />A harmonia é um conceito normalmente ligado à idéia de beleza, de proporção ou mesmo de ordem. Harmonia também está ligada à música. No entanto, do ponto de vista Matemático, a Harmonia é estudada do ponto de vista das séries numéricas e da estatística em conceitos como o de Média Harmônica e Harmônico Global. A seguir definiremos cada um dos conceitos acima apresentados e os aplicaremos em diversas situações práticas.<br /><br /><strong>2. Série: </strong><br /><br />É a série formada pela soma dos inversos dos números naturais não nulos:<br /><br /><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEino_cUqxxtDPTDohzMMwHUuXNGNV8r-hhIO4Ui4IeNDgfd4p9rOgln7GJwJHiFLJOPbMVYCUqD7FZ7QtBVF9uSTzw775RjsanGuKTh8csVhnMHthdJGDAwpNOMou_5qPLUwoyI7DGgHKyu/s1600/Harmon1.gif"><span style="font-family:times new roman;"><img style="TEXT-ALIGN: center; MARGIN: 0px auto 10px; WIDTH: 165px; DISPLAY: block; HEIGHT: 45px; CURSOR: hand" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5474984861319386258" border="0" alt="" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEino_cUqxxtDPTDohzMMwHUuXNGNV8r-hhIO4Ui4IeNDgfd4p9rOgln7GJwJHiFLJOPbMVYCUqD7FZ7QtBVF9uSTzw775RjsanGuKTh8csVhnMHthdJGDAwpNOMou_5qPLUwoyI7DGgHKyu/s320/Harmon1.gif" /></a></span><span style="font-family:times new roman;">Tal série é denominada harmônica devido à sua semelhança com a proporcionalidade dos comprimentos de onda de uma corda vibrando.<br /><br /><strong>3. Média Harmônica:</strong><br /><br />O inverso da média harmônica dos elementos do conjunto </span><br /><br /><p><img style="TEXT-ALIGN: center; MARGIN: 0px auto 10px; WIDTH: 113px; DISPLAY: block; HEIGHT: 19px; CURSOR: hand" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5474985558237431954" border="0" alt="" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh1sppwiYCn1oKLlsmTruomVoyB42FnT70otDRMYevZAPpVEt_4nGj8kj4hULG6S7t6tfPo9doEAwgjRheGdBebCXUL5XzkuUik-7KAJH9XlC0Umjr9EjUAOY4T33cqYIq4aMg54uiaEDca/s320/Harmon2.gif" /></p><p align="left"><span style="font-family:times new roman;">é definido como a média aritmética dos inversos dos elementos desse conjunto, ou seja,</span></p><p align="center"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiBfu9eIgMQbY-0a9wFd1rmcyGfKQXwLBe-lrS41W-jOYi1UfZ6undFUUgaOQPMBwe1Bt1cyxrHajUu8slhdR0LMIJUkh5cwNEN4hTeB9NRup5FiIwVhR6JkiRIXXJzyKpRseUyvo33dGuh/s1600/Harmon3.gif"><span style="font-family:times new roman;"><img style="WIDTH: 149px; HEIGHT: 51px; CURSOR: hand" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5474986061008549346" border="0" alt="" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiBfu9eIgMQbY-0a9wFd1rmcyGfKQXwLBe-lrS41W-jOYi1UfZ6undFUUgaOQPMBwe1Bt1cyxrHajUu8slhdR0LMIJUkh5cwNEN4hTeB9NRup5FiIwVhR6JkiRIXXJzyKpRseUyvo33dGuh/s320/Harmon3.gif" /></span></a></p><p align="left"><span style="font-family:times new roman;color:#009900;"><strong>Observação:</strong></span></p><p align="justify"><span style="font-family:times new roman;">Pode-se considerar a Média Harmônica como o número que corresponde a capacidade média individual da ação de n elementos estão agindo harmonicamente, ou seja, a capacidade de um agente que é capaz de substituir cada um dos n agentes quando atuando em conjunto.<br /><br /><strong><span style="color:#009900;">4. Harmônico Global:</span></strong></span></p><p align="justify"><span style="font-family:times new roman;">O inverso do harmônico global dos elementos de um conjunto é definido como a soma dos inversos dos elementos desse conjunto, ou seja,<br /></span></p><br /><p align="center"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgIXLcOM5TNZ6SbXj0VgDJ1BSKbJd7H-7VWwf4X7v5Ge3RM0Raw6LBip-OosG4zWvngPiG3ueEy_yovdkqIvibpPRICvsFBSfp568NM2bw6H-tGR7l0-WwZCX5ermQBn2mOYxsdYqW7QZLo/s1600/Harmon6.gif"><img style="WIDTH: 144px; HEIGHT: 36px; CURSOR: hand" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5474992213050620834" border="0" alt="" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgIXLcOM5TNZ6SbXj0VgDJ1BSKbJd7H-7VWwf4X7v5Ge3RM0Raw6LBip-OosG4zWvngPiG3ueEy_yovdkqIvibpPRICvsFBSfp568NM2bw6H-tGR7l0-WwZCX5ermQBn2mOYxsdYqW7QZLo/s320/Harmon6.gif" /></a></p><p align="justify"><span style="font-family:times new roman;color:#009900;"><strong>Observação:</strong></span></p><p align="justify"><span style="font-family:times new roman;">Pode-se considerar o harmônico global h como a capacidade média global da ação dos n elementos de um conjunto agindo em conjunto de uma forma harmônica, isto é, h representa a capacidade de um único agente substituir todos os agentes ao mesmo tempo. </span></p><p align="justify"><span style="font-family:times new roman;color:#009900;"><strong>5. Situações-Problema:</strong></span></p><p align="justify"><span style="font-family:times new roman;"><strong>5.1. Capacidade Individual:</strong></span></p><p align="justify"><span style="font-family:times new roman;">O seguinte problema foi proposto pelo vestibular da UFMG:</span></p><p align="justify"><span style="font-family:times new roman;">Um pedreiro faz um muro em 6 horas. Outro pedreiro, nas mesmas condições que o primeiro, faz o mesmo muro em 9 horas. O tempo que os dois gastarão trabalhando juntos, para fazer o mesmo muro, nas mesmas condições anteriores é:</span></p><p align="justify"><span style="font-family:times new roman;">A) 3 horas e 36 minutos<br />B) 7 horas<br />C) 4 horas<br />D) 7 horas e 36 minutos<br />E) 4 horas e 36 minutos</span></p><p align="justify"><span style="font-family:times new roman;">Solução: Deve-se calcular a capacidade de um único pedreiro de substituir os dois pedreiros ao mesmo tempo. Dessa forma, temos que </span></p><p align="center"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjpXUvYcKj3FrXggiEkqSaotPa7fH7tCqbxM3FsxdUms78e_UFEb0Kq3QOGL0QpjzS4dNUkq6wttzMr8GFWIQbxunxBXzOhmY1q7lif-8wPiB1oXjyZRETbMeW1wERFE3ByaiKrjm20jHg4/s1600/Harmon7.gif"><img style="WIDTH: 63px; HEIGHT: 36px; CURSOR: hand" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5474987914515614738" border="0" alt="" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjpXUvYcKj3FrXggiEkqSaotPa7fH7tCqbxM3FsxdUms78e_UFEb0Kq3QOGL0QpjzS4dNUkq6wttzMr8GFWIQbxunxBXzOhmY1q7lif-8wPiB1oXjyZRETbMeW1wERFE3ByaiKrjm20jHg4/s320/Harmon7.gif" /></a></p><p align="justify"><span style="font-family:times new roman;">onde t1 e t2 são, respectivamente, iguais a 6 horas e 9 horas. Logo </span><br /></p><br /><p align="justify"><span style="font-family:times new roman;"><img style="TEXT-ALIGN: center; MARGIN: 0px auto 10px; WIDTH: 283px; DISPLAY: block; HEIGHT: 33px; CURSOR: hand" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5474988382423795298" border="0" alt="" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhQU1s7sZTXkH3jhH1t3R0vDjlbkuMyazD3lj6G9q3F3IDRBQI7uR6SFugItqdvdACwSDpNQCN2-PE4oJU6r39ycmCYXE04n5VuV3wzxIhw0Jx6zreOxs48Pq9qEVfenT6NX0vaGEoTzvtc/s320/Harmon8.gif" /> A alternativa correta é a letra A.</span></p><p align="justify"><strong>5.2. Torneiras e Tanque:</strong></p><p align="justify">De maneira análoga à situação apresentada no item (5.1), podemos aplicar a idéia de harmônico global para resolver problemas onde duas (ou mais) torneiras serão abertas para encher um tanque, como apresentamos no seguinte problema: Uma torneira enche um tanque em 4 horas, outra enche o mesmo tanque em 6 horas e uma terceira torneira enche o mesmo tanque em 9 horas. Abrindo-se as três torneiras ao mesmo tempo, qual será o tempo necessário para encher totalmente o tanque?</p><p align="justify"><span style="font-family:times new roman;">Solução:</p></span><p align="justify">Deve-se calcular a capacidade de uma única torneira de substituir a vazão das três torneiras. Dessa forma, temos que </p><p align="center"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjb8dQP9md_5Efni7u3GpeIBz9gNh3glfbZAVoICnvwx7ZrsQqQINxFAYOhD2j-F58X_T83KBF6C3PAdAX132Yo-zHeOZYPJNQoGXAiNgdj7Hlj8RBNEURLaNRvb4_PVc3XrJIfmNThCUKC/s1600/Harmon9.gif"><img style="WIDTH: 88px; HEIGHT: 36px; CURSOR: hand" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5474989466494192530" border="0" alt="" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjb8dQP9md_5Efni7u3GpeIBz9gNh3glfbZAVoICnvwx7ZrsQqQINxFAYOhD2j-F58X_T83KBF6C3PAdAX132Yo-zHeOZYPJNQoGXAiNgdj7Hlj8RBNEURLaNRvb4_PVc3XrJIfmNThCUKC/s320/Harmon9.gif" /></a></p><p align="justify">onde t1, t2 e t3 são, respectivamente, iguais a 4, 6 e 12 horas. Logo </p><span style="font-family:times new roman;"><p align="center"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhhfKVEG_42s7x3Jx6Cj_eWUue1Xtd1JBopgU2wwrNbuilLjx_EnX9Zwz5K5OHDIOCNF4u-r33MapXwnHWn3GSjgKADA9y8F_3iOMxWKLKWqNmfKxdrxy0rRjlnLIQfe1SBIkoGimNEkvx8/s1600/Harmon10.gif"><img style="WIDTH: 251px; HEIGHT: 33px; CURSOR: hand" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5474990079813860834" border="0" alt="" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhhfKVEG_42s7x3Jx6Cj_eWUue1Xtd1JBopgU2wwrNbuilLjx_EnX9Zwz5K5OHDIOCNF4u-r33MapXwnHWn3GSjgKADA9y8F_3iOMxWKLKWqNmfKxdrxy0rRjlnLIQfe1SBIkoGimNEkvx8/s320/Harmon10.gif" /></a></span></p><p align="justify"><strong>5.3. Velocidade Média:</strong></p><p align="justify">A idéia da média harmônica pode ser aplicada para determinar a velocidade média de um automóvel em um percurso duplo (por exemplo, ida e volta de uma viagem). Observe o exemplo abaixo. Um carro se desloca de Belo Horizonte a Brasília mantendo uma velocidade média de 90km/h. No percurso de volta, o mesmo automóvel percorre a distância a 120 km/h. Qual é a velocidade média durante todo o trajeto? Solução: A solução desse problema é uma aplicação imediata da aplicação de média harmônica dos valores 90 km/h e 120 km/h: </p><p align="center"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEip-ltcfad0JECfY34tqheV3m-cVmKYln2ejlsSzKkiorBHkhvmzsZab79wkqUas-GSNRSAta1_1PV9AAte0FK7PPVpH43HhShvNaTLFLVIPfmXGLzC9uhyphenhyphenQVzM-krqyQT6t1MrAib_lddR/s1600/Harmon11.gif"><img style="WIDTH: 305px; HEIGHT: 53px; CURSOR: hand" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5474990163537817442" border="0" alt="" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEip-ltcfad0JECfY34tqheV3m-cVmKYln2ejlsSzKkiorBHkhvmzsZab79wkqUas-GSNRSAta1_1PV9AAte0FK7PPVpH43HhShvNaTLFLVIPfmXGLzC9uhyphenhyphenQVzM-krqyQT6t1MrAib_lddR/s320/Harmon11.gif" /></a></p><p align="justify"><strong><span style="color:#009900;">6. Conclusões:</span></strong></p><p align="justify">Todos os problemas acima mencionados, embora de situações independentes, nos mostram que o modelo matemático do Harmônico Global é útil na resolução de muitos problemas significativos. Em todas as situações apresentadas, o que se observa é a harmonia da ação de todos os agentes envolvidos na composição de uma ação conjunta e colaboradora com o objetivo de produzir um resultado. Existem muitas outras questões de caráter matemático que podem ser estudadas através do uso da Média Harmônica e do Harmônico Global. </p><p align="justify"><span style="color:#009900;"><strong>7. Questões Propostas:</strong></span></p><p align="justify">01) A torneira B consegue encher um tanque sozinha em 2 horas enquanto a torneira C demora 3 horas. Em quanto tempo as torneiras B e C conseguem encher juntas esse mesmo tanque?</p><p align="justify">02) Três torneiras enchem um tanque: a primeira em 15 horas; a segunda em 20 horas e a terceira em 30 horas. Há um escoadouro que pode esvaziar o tanque em 40 horas. Estando as três torneiras e o escoadouro abertas, calcule quanto tempo será necessário para que o tanque fique cheio. (8 horas) </p><p align="justify">03) Paulo vai e volta de carro de Santa Tereza à Santa Inês. Seu carro faz 16 quilômetros por litro de gasolina na viagem de ida, e 12 quilômetros por litro na viagem de volta. Calcule a média harmônica do consumo de gasolina em quilômetros por litro. Se a distância de Santa Tereza à Santa Inês é de 6 km, verifique que a média harmônica é a média correta a ser calculada. Encontre a média aritmética para comparar.</p>Marcelo Eustáquiohttp://www.blogger.com/profile/05680900931787446473noreply@blogger.com1